Fonksiyon Dersleri + çözümlü örnek - Sanal Hayat Keyifli Forumun Tek Adresi - Sesli Sohbet

**TÜRK** · 06 Mayıs 2011, 20:02

FONKSİYON

TANIM:

A ve B gibi boş olmayan iki küme için tanımlanan bir bağıntı f olsun. f bağıntısı A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyor ve A da eşlenmeyen eleman kalmıyorsa A dan B ye tanımlanan bu f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.

f
A B

xA yB ve A dan B ye fonksiyonu x’i y’ye eşliyorsa

f =A B
x f(x)=y şeklinde gösterilir.

A = Tanım kümesi
B= Değer kümesi

x’e değişken y’ye (y=f(x)) x’in f fonksiyonuna göre görüntüsü yada f fonksiyonunun x için aldığı değer denir.
A tanım kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntülerinin kümesine A nın görüntü kümesi denir. Ve f(A) ile gösterilir. f(A)B’ dir.

ÖRNEK: A={-3 -1023}
F=A R fonksiyonu
F{(-35)(-12)(03)(25)(3-4)} olarak veriliyor.
F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir?

A)0 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM:

f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur.
f(0)= 3 olduğundan
f(3)=-4 Cevap

FONKSİYON TÜRLERİ:

BİRE BİR FONKSİYON
TANIM:
A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Kısacası

x1 x2 A için x1  x2  f(x1)  f(x2) ya da f(x)1 = f(x2)  x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.

A f B f
A A B

f: A B birebir fonksiyon g: A B birebir fonksiyon

y
h(x)=y=2x
4
3
2
1
0 1 2 3 x
-1
-1

-2
h

h R h(x)=2x
bire bir fonksiyondur
ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu verilsin. f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir. Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa f fonksiyonu örtendir. Örten fonksiyonda
 y  B için f(x)=y olacak şekilde en az bir xA vardır.
f:A B fonksiyonun örten olabilmesi için s(A)  s(B) olmalıdır.

A f B

f:A B örten fonksiyon

İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu için f(A)B ise yani değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.

A g B

g:A B içine fonksiyon

BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve iççine fonksiyon denir.

A f B f:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı
ve f(A)B olduğundan f fonksiyonu
birebir ve içine fonksiyondur.

BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve örten fonksiyon denir.

A g B
g:A B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de farklı ve
g(A)=B olduğundan g fonksiyonu bire bir ve
örten fonksiyondur.

SABİT FONSİYON
TANIM:
f:A B fonksiyonu (x)A için f(x)=c oluyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.

A f B

TERS FONKSİYON
A f B Yandaki şemada A dan b ye verilen f
fonksiyonunun
g={(a1)(b3)(c2)(d4)} olduğunu söyleyebiliriz.
g fonksiyonu bir bağıntı olduğu için tersi vardır ve
g-1 ={(1a)(2c)(3b)(4d)} dir.

TANIM:
f A dan B ye bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 bağıntısı da B den A ya bir fonksiyondur. f-1 fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir.

A B dir.

CEVAPLI SORULAR

1) f A dan B ye bir fonksiyon x x2 fonksiyonunun bire bir midir?

CEVAP:
f(-2) = (-2)2 = 4
f(2) =22 = 4 olduğundan -2  2  f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir.

2) A ={ -1 01 } ve b={ 01 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2
fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız.

CEVAP:
f(-1) = 1
f(0) = 0  f(A) = {01} dır.
f(1) =1

f(A) = B olduğundan f örtendir.

3) A = {-1 0123} ve B = {01234510} kümeleri veriliyor. f(x) = x2 + 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon)

CEVAP:
f(-1) = (-1)2 + 1 = 2
f(0) = 02 +1 = 1
f(1) = 12 + 1 = 2
f(2) = 22 + 1 = 5
f(3) = 32 + 1 = 10
f(A) = { 12510}  B olduğundan f içine fonksiyondur.

4) f : R [2 +  ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x  0

CEVAP:
f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1  1
x1  x2 için f(x1)  f(x2) f(-1) = f(1)
f(-1) = (-1)2 + 2 = 3
f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil

5) f : R R f(x) = ( a-2 ) . x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a – b +f(x)=?

CEVAP:
f(x) = c olduğundan
f(x) = ( a - 2 ) . x2 + ( b + 3 ) . x +7
0 0
a–2 = 0 b+3 = 0
a = 2 b = -3
f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12

6) f R f(x) = x3 – 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?

CEVAP:
f-1(2) = x  f(x) = 2

 x3 – 4x +2 = 2
 x3 – 4x = 0
 x( x2 – 4 ) = 0
 x = 0 x = 2 x = -2
f-1(2) = { -2 0 2 } bulunur.

7) f : R-{-1} R f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre f-1(6) nedir?

CEVAP:
f-1(6) = x  f(x) = 6
 x2 –3x + 2 = 6
 x2 –3x –4 = 0
 ( x-4 ) (x + 1 ) = 0
 x = 4 x = -1
x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f-1(6) = 4

**TÜRK** · 06 Mayıs 2011, 20:03

Sıralı N li ifadeler
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
Koordinat Sistemi Analitik Düzlem
Bağıntı
Bağıntının Şeması ve Grafiği
Bağıntı Sayısı
Bir Bağıntının Tersi
İki Bağıntının Bileşkesi
Bir Kümede Tanımlı Bağıntıların Özellikleri
Ters Simetri Özellikleri
Denklik Bağıntısı
Denklik Sınıfları
Sıralama Bağıntısı
Fonksiyon
Fonksiyonun Grafiği
Fonksiyonlarda Dört İşlem
Eşit Fonksiyonlar
Fonksiyon Çeşitleri
Permütasyon Fonksiyon
Birim Fonksiyon
Fonksiyonların Bileşkesi
Fonksiyon Sayısı
Konuyla İlgili Çözümlü Sorular

Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)